Esta unidad abarca el manejo de números (enteros, fracciones y decimales) y su aplicación a problemas verbales mediante razones, proporciones y porcentajes. Domina primero la jerarquía de operaciones, que fija el orden de resolución: 1) signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves); 2) potencias y raíces; 3) multiplicaciones y divisiones; 4) sumas y restas. Cuando solo hay operaciones del mismo nivel, se resuelven de izquierda a derecha.
Las propiedades agilizan el cálculo. La conmutativa indica que el orden no altera el resultado en la suma ni en la multiplicación (a+b=b+a; a·b=b·a). La distributiva relaciona ambas operaciones: a·(b+c)=a·b+a·c. Recuerda los elementos neutros: el 0 en la suma (a+0=a) y el 1 en la multiplicación (a·1=a). En problemas con números con signo, aplica con cuidado las reglas de los signos al sumar, restar, multiplicar y dividir.
Una razón es el cociente entre dos cantidades: el numerador es el antecedente y el denominador, el consecuente. Una proporción es la igualdad de dos razones; en a/b = c/d, los términos a y d son los extremos, y b y c los medios. Su propiedad fundamental afirma que el producto de los extremos es igual al producto de los medios (a·d = b·c), herramienta clave para despejar incógnitas.
En magnitudes directamente proporcionales el cociente entre ellas es constante (k): si una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción. En magnitudes inversamente proporcionales el producto es constante (k): si una aumenta, la otra disminuye. La regla de tres simple resuelve estos problemas en su forma directa o inversa según la relación entre las magnitudes.
Un porcentaje es una fracción con denominador 100; el símbolo % significa "por cada cien" (del latín per centum), así A% = A/100. Para calcular el A% de una cantidad C, multiplica C por A y divide entre 100 (A% de C = C·A/100). Para saber qué porcentaje representa una parte respecto del total, divide la parte entre el total y multiplica por 100: % = (parte/total)·100. Estas fórmulas sostienen los cálculos de descuentos e intereses.
1. Según la jerarquía de operaciones, ¿qué se debe resolver PRIMERO en una expresión matemática?
La jerarquía de operaciones indica que primero se resuelve lo que está dentro de los signos de agrupación, antes que cualquier otra operación. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
2. Cuando en una expresión solo quedan operaciones del mismo nivel jerárquico (por ejemplo, solo sumas y restas), ¿cómo se resuelven?
Cuando las operaciones son de la misma jerarquía, se resuelven en orden de izquierda a derecha. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
3. ¿Cuál es el resultado de la operación 8 + 4 × 3?
Primero se resuelve la multiplicación (4 × 3 = 12) y luego la suma (8 + 12 = 20). (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
4. ¿Cuál es el resultado de la operación (8 + 4) × 3?
El paréntesis se resuelve primero (8 + 4 = 12) y luego se multiplica por 3, obteniendo 36. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
5. Resuelve la operación: 20 − 6 ÷ 2 + 5
Primero la división (6 ÷ 2 = 3); luego de izquierda a derecha: 20 − 3 + 5 = 22. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
6. ¿Cuál es el resultado de −7 + 3 × (−4)?
Primero la multiplicación: 3 × (−4) = −12; luego −7 + (−12) = −19. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
7. Resuelve: 5 × [2 + (9 − 3 × 2)]
Dentro del paréntesis: 9 − 6 = 3; dentro del corchete: 2 + 3 = 5; finalmente 5 × 5 = 25. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
8. ¿Cuál es el resultado de −15 + (−8) − (−6)?
Restar (−6) equivale a sumar 6: −15 − 8 + 6 = −17. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
9. Un estudiante resolvió 12 − 4 + 2 y obtuvo 6 porque sumó primero 4 + 2 = 6 y luego restó. ¿Cuál es el resultado correcto y por qué?
Suma y resta tienen la misma jerarquía, así que se opera de izquierda a derecha: 12 − 4 = 8, luego 8 + 2 = 10. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
10. ¿Cuál es el resultado de (−6) × (−5)?
El producto de dos números negativos es positivo: 6 × 5 = 30. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
11. Resuelve: 18 ÷ (−3) + 4 × (−2) − (−5)
División: 18 ÷ (−3) = −6; multiplicación: 4 × (−2) = −8; luego −6 + (−8) − (−5) = −6 − 8 + 5 = −9. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
12. ¿Cuál es el resultado de 100 − [3 × (4 + 2²) − 10]?
Dentro del paréntesis: 4 + 4 = 8; luego 3 × 8 = 24; el corchete: 24 − 10 = 14; finalmente 100 − 14 = 86. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
13. Aplicando la propiedad distributiva, ¿a qué es igual 6 × (10 + 3)?
La propiedad distributiva indica que a·(b+c) = a·b + a·c, es decir, 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78. (NROC LibreTexts Español — 'Propiedades asociativas, conmutativas y distributivas')
14. ¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la multiplicación?
La propiedad conmutativa establece que cambiar el orden de los factores no altera el producto: a·b = b·a. (NROC LibreTexts Español — 'Propiedades asociativas, conmutativas y distributivas')
15. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación?
El 1 es el neutro multiplicativo porque cualquier número multiplicado por 1 da el mismo número (a·1 = a). (Spanish GED 365 — 'Propiedad conmutativa, asociativa y distributiva')
16. En la potencia 5³, ¿qué representa el número 3?
El exponente indica el número de veces que la base se multiplica por sí misma: 5³ = 5 × 5 × 5. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
17. ¿Cuál es el valor de 4³?
4³ = 4 × 4 × 4 = 64. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
18. ¿Cuál es el valor de la raíz cuadrada de 81?
La raíz cuadrada de 81 es 9 porque 9 × 9 = 81. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
19. ¿Cuánto vale 2⁵?
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
20. ¿Cuál es el valor de la raíz cúbica de 27?
La raíz cúbica de 27 es 3 porque 3 × 3 × 3 = 27. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
21. Al aplicar la jerarquía de operaciones, ¿cuál es el resultado de 3 + 2 × 4²?
Primero la potencia (4² = 16), luego la multiplicación (2 × 16 = 32) y por último la suma (3 + 32 = 35). (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
22. ¿Cuál es el resultado de √36 + √16?
√36 = 6 y √16 = 4; por lo tanto 6 + 4 = 10. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
23. ¿Cuál es el resultado de (−3)² + (−2)³?
(−3)² = 9 (base negativa con exponente par da positivo) y (−2)³ = −8; entonces 9 + (−8) = 1. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
24. Resuelve: √(9 × 4) + 2³
Dentro de la raíz: 9 × 4 = 36, y √36 = 6; luego 2³ = 8; finalmente 6 + 8 = 14. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, 'Jerarquía de operaciones')
25. ¿Cuál es el valor de cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0, por ejemplo 7⁰?
Por definición, todo número distinto de cero elevado al exponente 0 es igual a 1. (SEP — Nueva Escuela Mexicana Digital, contenido de potencias y raíces)
26. ¿Cuál es la forma decimal de la fracción 3/4?
Al dividir el numerador entre el denominador, 3 ÷ 4 = 0.75. (Aritmética básica — conversión de fracción a decimal (SEP, Nueva Escuela Mexicana))
27. ¿Qué fracción es equivalente a 0.5?
0.5 representa cinco décimos, que al simplificar (5/10) es igual a 1/2. (Aritmética básica — equivalencia entre decimales y fracciones (SEP))
28. ¿Cuál es el resultado de sumar 1/4 + 1/4?
Al tener el mismo denominador se suman los numeradores: 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2. (Aritmética básica — suma de fracciones con igual denominador (SEP))
29. Para sumar 1/3 + 1/6, ¿cuál es el mínimo común denominador que conviene usar?
El MCM de 3 y 6 es 6, por lo que el mínimo común denominador es 6: 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. (PruebaT — MCM por descomposición en factores primos; suma de fracciones (SEP))
30. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 2/3 × 3/5?
Se multiplican numeradores y denominadores: (2×3)/(3×5) = 6/15, que simplificado es 2/5. (Aritmética básica — multiplicación de fracciones (SEP))
31. Ana comió 2/5 de un pastel y Luis comió 1/5 del mismo pastel. ¿Qué fracción del pastel sobró?
Entre los dos comieron 2/5 + 1/5 = 3/5; lo que sobra es 5/5 − 3/5 = 2/5. (Aritmética — problemas verbales con fracciones (SEP))
32. ¿Cuál de las siguientes comparaciones es correcta?
Al comparar con denominador común 12: 3/4 = 9/12 y 2/3 = 8/12, por lo que 3/4 es mayor que 2/3. (Aritmética — comparación de fracciones (SEP))
33. ¿Cómo se llama el término que está arriba en una fracción, como el 5 en 5/8?
En una fracción, el término superior es el numerador y el inferior es el denominador. (Aritmética básica — partes de una fracción (SEP))
34. Un albañil avanzó 3/8 de una barda el lunes y 1/4 el martes. ¿Qué fracción de la barda le falta por construir?
En total avanzó 3/8 + 2/8 = 5/8; lo que falta es 8/8 − 5/8 = 3/8. (Aritmética — problemas verbales con fracciones (SEP))
35. ¿Cuál es el resultado de dividir 3/4 ÷ 1/2?
Dividir entre 1/2 equivale a multiplicar por su recíproco 2/1: (3/4)×(2/1) = 6/4 = 3/2. (Aritmética básica — división de fracciones (SEP))