El lenguaje algebraico es la combinación de números, literales (letras) y signos de operación que permite traducir de forma breve enunciados del lenguaje común a expresiones matemáticas y generalizar procedimientos. A las literales se les llama incógnitas cuando sólo pueden adquirir ciertos valores, y variables cuando pueden tomar distintos valores. Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas.
Para modelar problemas con palabras, conviene asociar términos clave a cada operación:
Un monomio o término algebraico es el producto de un coeficiente (número conocido) por una parte literal (letras con sus exponentes); por ejemplo, en 5x³ el coeficiente es 5 y la parte literal es x³. El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras (el grado de 4x²y es 2+1 = 3). Dos monomios son términos semejantes si tienen exactamente la misma parte literal; sólo pueden sumarse o restarse términos semejantes, base para operar con polinomios, productos notables y factorización.
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad cuya incógnita está elevada a la primera potencia y puede escribirse como ax + b = 0. Para resolverla se aplican las propiedades de la igualdad: sumar o restar la misma expresión a ambos miembros, y multiplicar o dividir ambos miembros por un mismo número distinto de cero. Se despeja la incógnita agrupando sus términos en un miembro y los demás en el otro; cuando un término pasa al otro lado de la igualdad cambia su signo (+ pasa como −, y × pasa como ÷). El mismo despeje sirve para fórmulas y para hallar términos en sucesiones y patrones numéricos.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resuelve por sustitución (despejar una incógnita y sustituirla en la otra ecuación), igualación o reducción o eliminación (sumar o restar las ecuaciones igualando coeficientes para que desaparezca una incógnita). Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) completan el bloque.
Datos del examen: el COMIPEMS/ECOEMS consta de 128 reactivos de opción múltiple con cuatro opciones (sólo una correcta) y dura 3 horas (180 minutos); el área de Matemáticas incluye Álgebra: lenguaje algebraico, ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales.
1. ¿Qué es el lenguaje algebraico?
El lenguaje algebraico combina números, literales y signos de operación para traducir de forma breve enunciados del lenguaje común y generalizar procedimientos. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
2. ¿Cuál es la traducción al lenguaje algebraico de 'el doble de un número aumentado en cinco'?
El doble de un número es 2x y aumentar en cinco significa sumar 5, por lo que la expresión es 2x + 5. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
3. Al traducir al lenguaje algebraico, ¿con qué operación se asocian las palabras 'más', 'aumentar' y 'añadir'?
Las palabras 'más', 'incrementar', 'aumentar' y 'añadir' indican una suma o adición. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
4. ¿Con qué operación se asocian las palabras 'diferencia', 'disminuir', 'quitar' y 'rebajar'?
Las palabras 'diferencia', 'disminuir', 'sustraer', 'quitar' y 'rebajar' indican una resta o sustracción. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
5. ¿Cómo se escribe en lenguaje algebraico 'la mitad de un número'?
La mitad de un número se obtiene dividiéndolo entre 2, es decir, x/2. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
6. ¿Cuál expresión representa 'el triple de un número'?
El triple equivale a multiplicar el número por 3, por lo que se escribe 3x. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
7. En lenguaje algebraico, ¿cómo se llama a una literal cuando sólo puede adquirir ciertos valores específicos?
A las literales se les llama incógnitas cuando sólo pueden adquirir ciertos valores, y variables cuando pueden tomar diferentes valores. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
8. Un número disminuido en su tercera parte se representa como:
La tercera parte de un número es x/3, y al disminuir el número en esa cantidad se obtiene x − x/3. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
9. ¿Cuál es la traducción de 'el cuádruple de un número, disminuido en siete'?
El cuádruple es 4x y disminuido en siete significa restar 7, dando 4x − 7. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
10. La frase 'el cociente de un número entre cinco' se escribe como:
El cociente de un número entre cinco indica dividir x entre 5, es decir, x/5. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
11. ¿Cómo se expresa algebraicamente 'la suma de dos números consecutivos', si el primero es n?
Si el primer número es n, el siguiente consecutivo es n + 1, y su suma es n + (n + 1). (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
12. Un número aumentado en su doble se expresa como x + 2x. ¿A qué expresión equivale esta suma?
Al sumar términos semejantes, x + 2x = 3x, ya que 1 + 2 = 3 y la parte literal x se conserva. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
13. ¿Qué es una expresión algebraica?
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')
14. En el monomio 5x³, ¿cuál es el coeficiente?
En un monomio, el coeficiente es el número que multiplica a la parte literal; en 5x³ el coeficiente es 5 y la parte literal es x³. (Materiales de Matemáticas (secundaria/ESO), tema 'Monomios': coeficiente y parte literal)
15. ¿Cuál es el grado del monomio 4x²y?
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras: 2 + 1 = 3. (Materiales de Matemáticas (tema 'Monomios: coeficiente, parte literal y grado'))
16. ¿Cuál de los siguientes pares está formado por términos semejantes?
Dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal; 3x²y y −7x²y comparten x²y, por lo que sí lo son. (Materiales de Matemáticas (tema 'Términos semejantes'))
17. ¿Qué operación se puede realizar únicamente entre términos semejantes?
Sólo pueden sumarse o restarse términos semejantes, es decir, aquellos que tienen exactamente la misma parte literal. (Materiales de Matemáticas (tema 'Términos semejantes'))
18. ¿Cuál es la forma general de una ecuación de primer grado con una incógnita?
Una ecuación de primer grado con una incógnita tiene la incógnita elevada a la primera potencia y puede escribirse como ax + b = 0. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Soluciones de ecuaciones de primer grado'; Guía de Álgebra CECyT IPN)
19. Cuando un término que está sumando pasa al otro lado de la igualdad, ¿qué le ocurre?
Al despejar, cuando un término pasa al otro lado de la igualdad cambia su signo: lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Soluciones de ecuaciones de primer grado')
20. Al despejar x en la ecuación 3x = 12, ¿cuál es el procedimiento correcto?
Como 3 multiplica a x, se dividen ambos miembros entre 3, por lo que x = 12/3 = 4. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Propiedades de la igualdad')
21. En la ecuación 2x + 5 = 17, ¿cuál es el valor de x?
Se resta 5 a ambos miembros (2x = 12) y se divide entre 2, obteniendo x = 6. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Soluciones de ecuaciones de primer grado')
22. De la fórmula del perímetro de un rectángulo P = 2(b + h), ¿cuál es el despeje correcto de la base b?
Se divide P entre 2 para obtener b + h = P/2 y luego se resta h, quedando b = P/2 − h. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Propiedades de la igualdad')
23. De la fórmula del área del triángulo A = (b·h)/2, ¿cuál es el despeje correcto de la altura h?
Se multiplican ambos miembros por 2 (2A = b·h) y se dividen entre b, obteniendo h = 2A/b. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Propiedades de la igualdad')
24. Si se despeja x en la ecuación 5x − 8 = 2x + 7, ¿cuál es su valor?
Se agrupan términos: 5x − 2x = 7 + 8, es decir 3x = 15, por lo que x = 5. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Soluciones de ecuaciones de primer grado')
25. Según las propiedades de la igualdad, ¿por qué número NO se permite multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación?
Se puede multiplicar o dividir ambos miembros por un mismo número distinto de cero; dividir entre cero no está definido. (SEP — Nueva Escuela Mexicana, 'Propiedades de la igualdad')
26. En el monomio 5x³, ¿cuál es la parte literal?
La parte literal son las letras con sus exponentes; en 5x³ la parte literal es x³. (Materiales de Matemáticas (tema 'Monomios': coeficiente y parte literal))
27. ¿Qué condición deben cumplir dos monomios para ser términos semejantes?
Dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal; sólo así pueden sumarse o restarse. (Materiales de Matemáticas (tema 'Términos semejantes'))
28. ¿Cuál es el resultado de sumar 7x + 3x?
Son términos semejantes (misma parte literal x), así que se suman los coeficientes: 7 + 3 = 10, quedando 10x. (Materiales de Matemáticas (tema 'Términos semejantes'))
29. Al reducir la expresión 9a − 4a + 2a, ¿qué se obtiene?
Todos son términos semejantes en a; operando los coeficientes: 9 − 4 + 2 = 7, queda 7a. (Materiales de Matemáticas (tema 'Términos semejantes'))
30. ¿Cuál es el resultado correcto de la operación 5x²y · 3xy²?
Se multiplican los coeficientes (5·3 = 15) y se suman los exponentes de cada letra (x²·x = x³, y·y² = y³), dando 15x³y³. (Materiales de Matemáticas (tema 'Multiplicación de monomios'))
31. ¿Por qué los monomios 4x² y 5x³ NO se pueden sumar en un solo término?
x² y x³ son partes literales distintas, así que no son términos semejantes y no pueden reducirse a un solo término. (Materiales de Matemáticas (tema 'Términos semejantes'))
32. ¿Cuál es el resultado de la resta de polinomios (8x + 5) − (3x + 2)?
Se restan los términos semejantes: 8x − 3x = 5x y 5 − 2 = 3, obteniendo 5x + 3. (Materiales de Matemáticas (tema 'Suma y resta de polinomios'))
33. Al sumar los polinomios (3x² + 2x − 1) y (x² − 5x + 4), ¿cuál es el resultado?
Se suman términos semejantes: 3x²+x² = 4x², 2x−5x = −3x y −1+4 = 3, dando 4x² − 3x + 3. (Materiales de Matemáticas (tema 'Suma y resta de polinomios'))
34. ¿Cuál es el resultado de multiplicar el monomio 2x por el polinomio (3x + 4)?
Se aplica la propiedad distributiva: 2x·3x = 6x² y 2x·4 = 8x, obteniendo 6x² + 8x. (Materiales de Matemáticas (tema 'Multiplicación de un monomio por un polinomio'))
35. Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por:
Una expresión algebraica combina números y literales unidos por los signos de las operaciones aritméticas. (SEP — Nueva Escuela Mexicana / Aprende en Casa, 'Expresiones algebraicas y ecuaciones I')