En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto (90°) se llama hipotenusa y es el de mayor longitud; los otros dos lados son los catetos. Respecto a un ángulo agudo de referencia α, el cateto opuesto es el que está frente a α, y el cateto adyacente (o contiguo) forma parte de α sin ser la hipotenusa.
Las tres razones trigonométricas básicas se definen así:
Sus recíprocas son la cosecante (csc α = 1/sen α), la secante (sec α = 1/cos α) y la cotangente (cot α = 1/tan α). Como cualquier cateto es menor que la hipotenusa, se cumple que 0 < sen α < 1 y 0 < cos α < 1 para 0° < α < 90°. Además, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario: sen α = cos(90° − α), porque los dos ángulos agudos suman 90°.
El teorema de Pitágoras establece que c² = a² + b² (c = hipotenusa) y sirve para hallar lados desconocidos antes o después de aplicar razones trigonométricas. Conviene memorizar los ángulos notables:
En problemas verbales de altura y distancia, el ángulo de elevación se forma entre la línea horizontal de visión y la línea dirigida hacia un objeto situado por encima del observador; el ángulo de depresión apunta a un objeto por debajo. La altura suele modelarse como cateto opuesto, la distancia horizontal como cateto adyacente y la distancia directa observador-objeto como hipotenusa.
Procedimiento recomendado: dibujar el triángulo, etiquetar lados y ángulo conocidos, elegir la razón trigonométrica que relaciona los datos con la incógnita y despejar.
1. En un triángulo rectángulo, ¿cómo se define el seno de un ángulo agudo α?
El seno de un ángulo agudo α es el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa: sen α = cateto opuesto / hipotenusa. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
2. ¿Cuál es la definición correcta del coseno de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo?
El coseno de un ángulo agudo es el cociente del cateto adyacente entre la hipotenusa: cos α = cateto adyacente / hipotenusa. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
3. La tangente de un ángulo agudo α se obtiene dividiendo:
La tangente es el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente: tan α = cateto opuesto / cateto adyacente. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
4. En un triángulo rectángulo, ¿cómo se llama el lado opuesto al ángulo recto de 90°?
El lado opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa y es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
5. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo α mide 3 cm y la hipotenusa mide 5 cm. ¿Cuál es el valor de sen α?
Como sen α = cateto opuesto / hipotenusa, entonces sen α = 3/5. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
6. En un triángulo rectángulo el cateto adyacente a α mide 8 cm, el cateto opuesto mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm. ¿Cuál es el valor de cos α?
El coseno es el cateto adyacente entre la hipotenusa: cos α = 8/10 = 4/5. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
7. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo α mide 4 cm y el cateto adyacente mide 3 cm. ¿Cuál es el valor de tan α?
La tangente es el cateto opuesto entre el cateto adyacente: tan α = 4/3. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
8. ¿Cuál de las siguientes razones trigonométricas es la recíproca del seno?
La cosecante es la recíproca del seno: csc α = 1/sen α. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
9. ¿Cuál es la pareja correcta de razón recíproca?
La cotangente es la recíproca de la tangente: cot α = 1/tan α; la secante lo es del coseno y la cosecante del seno. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
10. ¿Cuál es el valor exacto de sen 30°?
El seno de 30° es exactamente 1/2. (Fisicalab, 'Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º'; Superprof)
11. ¿Cuál es el valor exacto de cos 60°?
El coseno de 60° es exactamente 1/2. (Fisicalab, 'Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º'; Superprof)
12. ¿Cuánto vale la tangente de 45°?
La tangente de 45° vale exactamente 1, porque en ese ángulo el cateto opuesto y el adyacente son iguales. (Fisicalab, 'Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º'; Superprof)
13. ¿Cuál es el valor exacto de sen 60°?
El seno de 60° es exactamente √3/2 (aproximadamente 0.8660). (Fisicalab, 'Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º'; Superprof)
14. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los ángulos notables es correcta?
En 45°, el seno y el coseno valen lo mismo (√2/2), porque los dos catetos son iguales. (Fisicalab, 'Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º'; Superprof)
15. Usando que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario, ¿a cuál de los siguientes valores es igual sen 60°?
Como sen α = cos(90° − α), entonces sen 60° = cos(90° − 60°) = cos 30°. (Khan Academy, 'Razones trigonométricas de triángulos especiales' (seno y coseno de ángulos complementarios))
16. ¿Por qué el seno y el coseno de un ángulo agudo siempre toman valores entre 0 y 1?
Como el seno y el coseno son cocientes de un cateto entre la hipotenusa, y todo cateto es menor que la hipotenusa, sus valores quedan entre 0 y 1. (Universo Fórmulas, 'Razones trigonométricas'; definición sen/cos como cateto/hipotenusa)
17. Una escalera de 13 m se apoya en una pared. Su base está a 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Por el teorema de Pitágoras, la altura es √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 m. (Guía de Estudios COMIPEMS, área Geometría; tema Teorema de Pitágoras)
18. Para hallar la altura de un poste usando el ángulo de elevación y la distancia horizontal del observador al poste, ¿qué razón trigonométrica conviene usar si la altura es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente?
La tangente relaciona el cateto opuesto (altura) con el cateto adyacente (distancia horizontal), así que es la razón adecuada. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión')
19. ¿Qué es el ángulo de elevación?
El ángulo de elevación se forma entre la horizontal de visión y la visual dirigida hacia un objeto que está por encima del observador. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión'; Khan Academy)
20. El ángulo de depresión se forma cuando el observador mira hacia un objeto que está:
El ángulo de depresión se forma entre la horizontal de visión y la visual dirigida hacia un objeto situado por debajo del observador. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión'; Khan Academy)
21. Desde un punto en el suelo, una persona ve la punta de un árbol con un ángulo de elevación de 30°. Si está a 30 m del pie del árbol, ¿cuál es la altura del árbol? (usa tan 30° ≈ 0.5774)
Con tan 30° = altura / distancia, la altura = 30 × tan 30° ≈ 30 × 0.5774 ≈ 17.3 m. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión')
22. ¿Cuál es el primer paso recomendado para resolver un problema verbal de triángulo rectángulo?
El procedimiento recomendado es dibujar el triángulo, etiquetar lados y ángulo conocidos, elegir la razón trigonométrica adecuada y despejar la incógnita. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión'; Khan Academy 'Ángulos de elevación y depresión')
23. En un triángulo rectángulo, ¿cómo se llama el lado opuesto al ángulo de 90° y que además es el de mayor longitud?
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
24. Respecto a un ángulo agudo de referencia α en un triángulo rectángulo, ¿cómo se define el seno de α?
El seno de un ángulo agudo es el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
25. ¿Cuál es la definición correcta de la tangente de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo?
La tangente es el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
26. La cosecante de un ángulo es la razón trigonométrica recíproca de:
La cosecante es la recíproca del seno: csc α = 1/sen α. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
27. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo α mide 3 y la hipotenusa mide 5. ¿Cuál es el valor de sen α?
El seno es cateto opuesto entre hipotenusa, es decir 3/5. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
28. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Según el teorema de Pitágoras, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Por Pitágoras, c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, así que c = 10 cm. (Guía de Estudios COMIPEMS, área Geometría; tema Teorema de Pitágoras)
29. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 13 m y uno de los catetos mide 5 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Por Pitágoras, cateto = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 m. (Guía de Estudios COMIPEMS, área Geometría; tema Teorema de Pitágoras)
30. En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a un ángulo α mide 4 y la hipotenusa mide 5. ¿Cuál es el valor de cos α?
El coseno es cateto adyacente entre hipotenusa, es decir 4/5. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I')
31. En un triángulo rectángulo el cateto opuesto a α mide 7 y el cateto adyacente mide 24. ¿Cuál es el valor de sen α?
La hipotenusa es √(7² + 24²) = √625 = 25, por lo que sen α = 7/25. (Nueva Escuela Mexicana Digital (SEP, México), 'Razones trigonométricas I'; Teorema de Pitágoras)
32. Una escalera de 10 m se apoya en una pared formando con el piso un ángulo cuyo seno vale 4/5. ¿A qué altura de la pared llega el extremo superior de la escalera?
La altura es el cateto opuesto: sen α = altura/hipotenusa, así que altura = (4/5)(10) = 8 m. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión'; definición de seno)
33. En un problema verbal de alturas y distancias, ¿qué lado del triángulo rectángulo suele representar la altura de un objeto observado a cierta distancia?
La altura del objeto se modela como cateto opuesto al ángulo; la distancia horizontal es el cateto adyacente y la distancia directa es la hipotenusa. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión')
34. Una persona observa la punta de un árbol que está por encima de su línea horizontal de visión. El ángulo entre la horizontal y su línea de visión hacia la punta se llama:
El ángulo de elevación se forma entre la horizontal de visión y la línea hacia un objeto situado por encima del observador. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión'; Khan Academy)
35. Desde un punto en el suelo, el ángulo de elevación a la punta de un poste es de 45°. Si el observador está a 12 m de la base del poste, ¿cuál es la altura del poste? (tan 45° = 1)
tan 45° = altura/distancia, así que altura = 12 × tan 45° = 12 × 1 = 12 m. (LibreTexts Español, 'Ángulos de Elevación y Depresión'; tan 45° = 1)