En el COMIPEMS los problemas de geometría se describen con palabras, sin imágenes, así que debes traducir el enunciado a una fórmula. Empieza por los ángulos: dos ángulos son complementarios si suman 90° y suplementarios si suman 180°. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180° y la de un cuadrilátero es 360°, datos clave para hallar un ángulo faltante.
Los triángulos se clasifican por sus lados (equilátero, isósceles, escaleno) y por sus ángulos (acutángulo, rectángulo, obtusángulo); los cuadriláteros incluyen cuadrado, rectángulo, rombo, romboide y trapecio. El perímetro es la suma de todos los lados: para el cuadrado P = 4l y para el rectángulo P = 2(b + h). En la circunferencia el perímetro es P = 2πr = πd, con π ≈ 3.1416.
Las áreas más frecuentes son:
El teorema de Pitágoras aparece seguido: en un triángulo rectángulo, c² = a² + b² (la hipotenusa al cuadrado iguala la suma de los cuadrados de los catetos); sirve para hallar un lado desconocido o una diagonal.
En cuerpos geométricos, el volumen de un prisma o cilindro recto es el área de la base por la altura: caja V = l·a·h y cilindro V = πr²h. El cubo de arista a tiene V = a³ y superficie total A = 6a². Pirámides y conos son un tercio de la base por la altura: V_cono = (πr²h)/3. La esfera de radio r cumple V = (4/3)πr³ y superficie A = 4πr².
Finalmente, cuida la conversión de unidades: en longitud el factor entre unidades contiguas es 10, pero en área se eleva al cuadrado (1 m² = 10 000 cm²) y en volumen al cubo (1 m³ = 1 000 000 cm³). Recuerda también la semejanza (misma forma, lados proporcionales, ángulos iguales) y la congruencia (figuras idénticas en forma y tamaño).
1. Dos ángulos se llaman complementarios cuando su suma es igual a:
Dos ángulos son complementarios cuando sus medidas suman 90 grados (forman un ángulo recto). (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); temario COMIPEMS (ángulos y sus relaciones).)
2. Dos ángulos se llaman suplementarios cuando su suma es igual a:
Dos ángulos son suplementarios cuando sus medidas suman 180 grados (forman un ángulo llano). (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); temario COMIPEMS (ángulos y sus relaciones).)
3. ¿Cuál es la medida del ángulo complementario de un ángulo de 35 grados?
El complemento se obtiene restando de 90 grados: 90 - 35 = 55 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); definición de ángulos complementarios.)
4. ¿Cuál es la medida del ángulo suplementario de un ángulo de 110 grados?
El suplemento se obtiene restando de 180 grados: 180 - 110 = 70 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); definición de ángulos suplementarios.)
5. Un ángulo mide 48 grados. ¿Cuánto suman su complemento y su suplemento juntos?
El complemento es 90 - 48 = 42 grados y el suplemento es 180 - 48 = 132 grados; su suma es 42 + 132 = 174 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); definiciones de complemento y suplemento.)
6. Dos ángulos son complementarios y uno mide el doble del otro. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
Si los ángulos son x y 2x, entonces x + 2x = 90, así x = 30; el mayor es 2x = 60 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); ángulos complementarios.)
7. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 40 grados. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
Si los ángulos son x y x + 40, entonces x + (x + 40) = 180, de donde x = 70 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); ángulos suplementarios.)
8. ¿Cuál de los siguientes ángulos NO puede tener complemento?
El complemento solo existe para ángulos menores que 90 grados; un ángulo de 120 grados no tiene complemento porque ya supera los 90 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); definición de ángulos complementarios.)
9. El complemento de un ángulo mide 25 grados. ¿Cuánto mide su suplemento?
Si el complemento es 25, el ángulo mide 90 - 25 = 65 grados; su suplemento es 180 - 65 = 115 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); complemento y suplemento.)
10. El suplemento de un ángulo es cuatro veces su complemento. ¿Cuánto mide dicho ángulo?
Se plantea 180 - x = 4(90 - x); al resolver: 180 - x = 360 - 4x, entonces 3x = 180 y x = 60 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); relaciones entre complemento y suplemento.)
11. Dos ángulos son suplementarios y están en proporción 2 a 3. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
Los ángulos son 2k y 3k con 2k + 3k = 180, así 5k = 180 y k = 36; el mayor es 3k = 108 grados. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); ángulos suplementarios en proporción.)
12. Un ángulo es igual a su propio complemento. ¿Cuánto mide?
Si x = 90 - x, entonces 2x = 90 y x = 45 grados, el único ángulo igual a su complemento. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); ángulos complementarios.)
13. ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de un cubo de arista a?
El volumen de un cubo es la arista elevada al cubo: V = a³. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); fórmula del cubo (V = a³).)
14. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 4 cm?
Se aplica V = a³ = 4³ = 64 cm³. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V = a³.)
15. El volumen de un prisma recto se calcula como:
El volumen de cualquier prisma recto es el área de su base por su altura. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); math10.com (fórmulas de volumen).)
16. Una caja (prisma rectangular) mide 5 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de altura. ¿Cuál es su volumen?
Se aplica V = largo × ancho × altura = 5 × 3 × 2 = 30 cm³. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_caja = l·a·h.)
17. ¿Cuál es la fórmula del volumen de un cilindro recto de radio r y altura h?
El volumen del cilindro es el área de la base circular (πr²) multiplicada por la altura: V = πr²h. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_cilindro = πr²h.)
18. Un cilindro tiene radio de 5 cm y altura de 10 cm. Usando π ≈ 3.1416, ¿cuál es su volumen aproximado?
Se aplica V = πr²h = 3.1416 × 25 × 10 = 785.4 cm³ aproximadamente. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_cilindro = πr²h, π ≈ 3.1416.)
19. Un prisma tiene una base triangular de 24 cm² de área y una altura de 7 cm. ¿Cuál es su volumen?
El volumen del prisma es el área de la base por la altura: 24 × 7 = 168 cm³. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_prisma = A_base·h.)
20. Si se duplica la arista de un cubo, ¿qué ocurre con su volumen?
Como V = a³, al duplicar la arista el volumen se multiplica por 2³ = 8. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V = a³.)
21. Un tanque cilíndrico tiene un diámetro de 6 m y una altura de 4 m. Usando π ≈ 3.1416, ¿cuál es su volumen aproximado?
El radio es 6/2 = 3 m; V = πr²h = 3.1416 × 9 × 4 ≈ 113.1 m³. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_cilindro = πr²h, π ≈ 3.1416.)
22. Un prisma rectangular tiene un volumen de 120 cm³, una base de 6 cm de largo y 4 cm de ancho. ¿Cuál es su altura?
Como V = l·a·h, se despeja h = 120 / (6 × 4) = 120 / 24 = 5 cm. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_caja = l·a·h.)
23. Un cubo y un prisma rectangular tienen el mismo volumen. El cubo tiene arista de 6 cm y el prisma tiene base de 4 cm por 9 cm. ¿Cuál es la altura del prisma?
El volumen del cubo es 6³ = 216 cm³; la altura del prisma es 216 / (4 × 9) = 216 / 36 = 6 cm. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V = a³ y V_caja = l·a·h.)
24. Dos cilindros tienen la misma altura, pero el radio del segundo es el triple del primero. ¿Cuántas veces mayor es el volumen del segundo respecto al primero?
Como V = πr²h y solo cambia el radio, al triplicarlo el volumen se multiplica por 3² = 9. (Geometría de cuerpos, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); V_cilindro = πr²h.)
25. ¿Cómo se clasifica un triángulo que tiene sus tres lados de igual longitud?
El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales (y, en consecuencia, sus tres ángulos interiores de 60°). (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de triángulos por sus lados.)
26. Un triángulo que tiene exactamente dos lados de igual longitud recibe el nombre de:
El triángulo isósceles tiene dos lados iguales; los ángulos opuestos a esos lados también son iguales. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de triángulos por sus lados.)
27. Según sus lados, ¿cómo se clasifica un triángulo cuyos tres lados tienen longitudes diferentes?
El triángulo escaleno no tiene lados iguales; sus tres lados (y sus tres ángulos) son distintos entre sí. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de triángulos por sus lados.)
28. Un triángulo que tiene un ángulo interior que mide exactamente 90° se clasifica como:
El triángulo rectángulo posee un ángulo recto (90°); a sus lados se les llama catetos e hipotenusa. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de triángulos por sus ángulos.)
29. Un triángulo tiene ángulos interiores que miden 40° y 60°. ¿De qué tipo es según sus ángulos?
El tercer ángulo mide 180° − 40° − 60° = 80°; como los tres ángulos (40°, 60° y 80°) son menores de 90°, el triángulo es acutángulo. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°.)
30. Dos ángulos interiores de un triángulo miden 30° y 110°. ¿Cómo se clasifica según sus ángulos?
El tercer ángulo mide 180° − 30° − 110° = 40°; como uno de los ángulos (110°) es mayor de 90°, el triángulo es obtusángulo. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°.)
31. En un triángulo isósceles, el ángulo distinto (ángulo desigual) mide 100°. ¿Cuánto mide cada uno de los dos ángulos iguales?
Los dos ángulos iguales suman 180° − 100° = 80°; al ser iguales, cada uno mide 80° ÷ 2 = 40°. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°.)
32. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 2:3:4. ¿Cómo se clasifica este triángulo según sus ángulos?
Las partes suman 2+3+4 = 9, y 180° ÷ 9 = 20°, así que los ángulos son 40°, 60° y 80°; al ser todos menores de 90°, el triángulo es acutángulo. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°.)
33. ¿Cuál es el cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos rectos?
El cuadrado es el único cuadrilátero regular: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos de 90°. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de cuadriláteros.)
34. ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales pero sus ángulos no son rectos?
El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero a diferencia del cuadrado sus ángulos no son rectos (son dos pares de ángulos iguales). (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de cuadriláteros.)
35. ¿Cuál es el cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos?
El trapecio se caracteriza por tener únicamente un par de lados paralelos, llamados bases. (Geometría euclidiana, nivel secundaria (SEP, Matemáticas); clasificación de cuadriláteros.)